化石

【Verb + Object(Noun)】
寻找化石
发现化石

As an attributive:
【Attributive(Noun) + Modified word】
化石燃料
化石能源
化石标本

【Attributive(Noun) + de(的) + Modified word】
化石的年代

化石 as a Modified word

的 must not be used:
1)Numeral Measure words:
【Numeral+ Measure word + Noun】
一种化石
一块化石

2)Noun:
【Noun+Noun】
动物化石
恐龙化石

3) Verb：
【Verb+Noun】
活化石

4)Pronoun:
【Demonstrative pronoun + Measure word + Noun】
这种化石
那种化石

【Interrogative pronoun + Measure word + Noun】
哪种化石？

【Interrogative pronoun + Noun】
什么化石？
任何化石？

4)Adjective:
【Adjective(A)+Noun】
老化石

的 are must need:
1)Numeral Measure words:
【Numeral+ Measure word+de(的)+ Noun】
一个一个的化石

2)Noun:
【Noun+de(的)+ Noun】
鱼的化石
牙齿的化石

3)Pronoun：
【Demonstrative pronoun +de(的)+Noun】
这样的化石
那样的化石
所有的化石

4)Adjective:
【Adjective(AB) +de(的) + Noun】
古老的化石
珍贵的化石